- 考点1.【点睛二】\[AB=0\]
-
【解题提示】
【例4】设
，若存在秩大于
的三阶矩阵
，使得
，则
【详解】由，有秩
,又因为秩
，
所以
，于是
，
。
则
，
而
，因此
【例5】已知３阶矩阵
，且的每一列均为方程组
的解向量，求
及
。
【解析】
中至少有一个非零列向量， 所以方程组有非零解。
于是
＝０，解得
．易知当时
。所以方程组
的基础解系含一个解向量，因此
，即
。
【例6】设
为满足的任意两个非零矩阵，则必有
（A）
的列向量组线性相关，的行向量组线性相关.
（B）的列向量组线性相关，的列向量组线性相关.
（C）的行向量组线性相关，的行向量组线性相关.
（D）的列向量组线性相关，的列向量组线性相关.
【解】选项(D)正确.
设
，则
因为为两个非零矩阵，所以存在一组不全为零的数
及
使
，
因此，的列向量组线性相关，的列向量组线性相关.选项(D)正确.
- 考点2.【点睛三】有关基础解系的问题
-
【解题提示】某一个向量组要是方程组的基础解系，需要满足三个条件：
（1）该向量组中的每个向量都满足方程AX＝0；
（2）该向量组线性无关；
（3）该向量组中向量的个数等于n-r(A)；或方程组的任一解向量都可由该向量组线性表示。
【例7】设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组AX= 0与BX = 0有相同的基础解系
，则在下列方程组中以为基础解系的是
(A) (A+B)X= 0 (B) ABX=0 (C) BAX=0 (D)
.
【解析】由已知，方程组AX= 0与BX = 0同解，又方程组的解是方程组AX = 0与BX = 0的共同解，所以，三个方程组AX = 0，BX = 0，同解，即
方程组的基础解系为，选(D).
- 考点3.【点睛四】有关方程组通解的题型
-
【解题提示】已知方程组的解，反求系数矩阵或者系数矩阵中的待定参数。会根据方程组解的结构判别通解。
【例8】已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
（Ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩
；
（Ⅱ）求
的值及方程组的通解.
【详解】 （I） 设
是方程组
的3个线性无关的解，其中
.
则有
.
则
是对应齐次线性方程组的解，且线性无关.（否则，易推出线性相关，矛盾）.
所以
，即
.
又矩阵中有一个2阶子式
，所以
.
因此
.