- 考点1.【题型1】求函数的定义域
-
【解题提示】函数的定义域问题从如下三个方面考虑：
1）若
，其中n为自然数，则
。
2）若
，则
。
3）若
,其中
，则
。
【例1】求函数
的定义域
【解析】定义区域为
且
即
且
所以，定义区域为
【例2】设
的定义区域为
，求函数
的定义区域
【解析】
的定义区域为：
且
即
且
，所以，定义区域为
【评注】对于形如
的复合函数而言，外面函数
的定义域与内部函数
的值域相对应。
- 考点2.【题型2】判断两个函数是否相同
-
【解题提示】断言两函数相同，必须从定义域与对应法则两方面入手。只有两个函数的定义域相同且对应法则也相同时，两函数才相同。否则，两函数不是同一个函数。
【例3】比较函数
与
是否相同
【解析】首先求出函数的定义域：；的定于区域：
，得到
或
；
而的定义域为；从而不是同一个函数。
【例4】
是否相同？
【解析】首先求出函数的定义域：
的定义区域为：
；
的定义区域为：。可见两个函数的定义域相同，但是对应法则却不相同：比如当
时，两者的函数值并不相同。实际上，若
- 考点3.【题型3】求函数的表达式
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【解题提示】求函数的表达式，一般可以采取换元法求解，或者采取拼凑的方式求解，但有时也需要通过变形解方程组的方法求解。
【例5】若
，求
的表达式？
【解析】根据
，可以得到
，从而得到
【评注】如果这个题目改成
，如何去思考？实际上，
。
【例6】设函数满足
，试求
【解析】
① 
②
①-②得 
所以
【评注】遇到这类问题，要想到进行变形，然后构成方程组，进行求解。
- 考点4.【题型4】判断函数的奇偶性
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【解题提示】判别给定函数
的奇偶性的主要方法是：不管的具体形式是什么，均计算
的表达式。如果
，则由定义知为偶函数；如果
，则由定义知为奇函数；除此之外，判定为非奇非偶函数。
【例7】设函数定义在
上，试判别下列函数的奇偶性
【解析】
为奇偶函数
为偶函数
为奇函数
（4）令
，则
，显然
为非奇非偶函数
【例8】已知
均定义在上，且为奇函数，为偶函数，则
为
(A)奇函数 (B)偶函数 (C)既为奇函数又为偶函数 (D)既非奇函数也非偶函数
【解析】
所以应该选B
【评注】已知两函数
、
，那么
（1）一奇一偶，则积函数（即
）是奇函数，复合函数（即
）是偶函数；
（2）两都是奇函数，则积函数（即）是偶函数，复合函数（即）是奇函数；
（3）两都是偶函数，则积函数（即）是偶函数，复合函数（即）是偶函数.
- 考点5.【题型5】判别函数的有界性
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【解题提示】（1）函数是否有界是相对于某个区间而言的，与区间有关；（2）证明或判别函数有界性的主要方法包括两种：
① 利用函数有界性的定义；
② 闭区间上的连续函数一定是有界函数；
【例9】函数
在下列哪个区间内有界.
(A)(1, 0) (B)(0, 1) (C)(1, 2) (D)(2, 3)
【分析】如f(x)在(a, b)内连续，且极限
与
存在，则函数f(x)
在(a, b)内有界.
【解析】当x 0, 1, 2时，f(x)连续，而
，
，
，
，
，
所以，函数f(x)在(1, 0)内有界，故选(A).
【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则f(x)在闭区间[a , b]上有界；如函数f(x)在开区间(a, b)内连续，且极限与存在，则函数f(x)在开区间(a, b)内有界.