- 考点1.函数的定义
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1、函数的定义
设
和
是两个变量，
是一个给定的数集，如果对于给定的
，变量按照一定法则总有唯一确定的数值和它对应，则称是的函数，记作
，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。的取值范围叫函数的值域。
若函数用解析式表示，使运算有意义的实值自变量值的集合即为函数的定义域。
2、两个特殊函数
例1 符号函数
sgn
例2 取整函数
设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作.
如：
- 考点2.函数的性质
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1、 有界性
定义：若存在正数
，使函数
在区间
上恒有
，则称在区间上是有界函数；若不存在这样的正数，则称在区间上无界。
注：函数的有界性与所讨论的区间有关。如：sinx、arctanx在
上有界.
2、 单调性
对于区间
内任意两点
恒有
，称函数在区间上是单调增加的，反之称为在区间上单调减少；
若恒有
成立，则称函数在区间上是严格单调增加的.
注：函数的单调性与所讨论的区间有关，如函数
在区间
上是单调增加的，在区间
上是单调减少的，在区间内不是单调的。再如：函数
在区间内是单调增加的。
3、 奇偶性
若函数在关于原点对称的区间上满足
（或
）则称为偶函数（或奇函数）。
注：①函数定义域关于原点要对称；偶函数的图形是关于 轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的；
②关于奇偶函数的四则运算，具有以下性质：
a 奇函数±奇函数=奇函数
b 偶函数±偶函数=偶函数
c 奇函数×（÷）奇函数=偶函数
d 偶函数×（÷）偶函数=偶函数
e 奇函数×（÷）偶函数=奇函数
4、 函数的周期性
对于函数，如果存在一个非零常数
, 对定义域内的任意均有
，则称函数为周期函数，T为的周期，通常所说的周期函数的周期为最小正周期。
如：函数
都是以
为周期的周期函数，而
是以
为周期的周期函数.
另外，注意并非每个周期函数都有最小正周期，狄利克雷函数
，它是一个周期函数，任何正有理数都是它的周期，因不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期。
- 考点3.反函数与复合函数
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1、 反函数
若
是定义在上的单调函数，则
是单射，于是的逆映射
必定存在，此映射称为函数的反函数，且容易证明也是
上的单调函数，且与具有相同的单调性。
几何：直接函数与它的反函数
的图形关于直线y=x对称。
2、 复合函数
函数
的定义域为
，
的定义域为
，值域满足
，则函数
构成复合函数。
- 考点4.初等函数
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由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。
基本初等函数有：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这五类函数的定义域值域和图形必须牢记。
（1）幂函数
常见的幂函数的图形如下图所示。
（2）指数函数
它的定义域为
，值域为
。指数函数的图形如下图所示。
（3）对数函数
定义域为，值域为
．对数函数
是指数函数
的反函数．其图形见下图。
在工程中，常以无理数e＝2.718 281 828…作为指数函数和对数函数的底，并且记，
，后者称为自然对数函数。
（4）三角函数
三角函数有正弦函数
、余弦函数
、正切函数
、余切函数
、正割函数
和余割函数
．其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见下图。
（5）反三角函数
反三角函数主要包括：
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
等．
它们的图形如图所示．注意其定义域和值域。
典型例题
例 1判别下列函数的奇偶性：
【解】奇函数.
例2 设
，
.求
【解】
.